الجبر

الجَبْر كلمة عربية و هو فرع من علم الرياضيات وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية.
ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية و التحليل الرياضي و نظرية الأعداد و التباديل و التوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية و التماثلات بينها، والعلاقات والكميات.
والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصيغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصيغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان تصنيف

يقسم علم الجبر لعدة فروع.
الجبر الابتدائي، و فيه يتم دراسة خصائص الأعداد الحقيقية، و تستخدم رموز للتعبير عن المتغيرات و الثوابت، و تتم دراسة القواعد التي تضبط المعادلات والتعابير الرياضية المكونة من هذه الرموز. ويتم تدريسه غالبا في التعليم الثانوي إضافة إلى إعطاء أفكار أساسية حول بقية مواضيع الجبر التجريدي في الجبر الابتدائي تتم دراسة جمع و ضرب الأعداد، ودراسة كثيرات الحدود و طرق إيجاد الجذور لكثيرات الحدود هذه.
الجبر المجرد، و فيه تتم دراسة البنى الجبرية كالزمر (أو المجموعات) و الحلقات و الحقول (أو المجالات)، والفضاء الشعاعي (أو فضاء المتجهات أو الفراغ الاتجاهي) الذي يمثل عصب دراسة الجبر الخطي. ويتم بعد ذلك في الجبر التجريدي، عملية تجريد للعملية الحسابية فيستعاض عن الأعداد برموز تدعى في الجبر متغيرات أو عناصر لمجموعة ما. عندئذ تصبح عمليات الجمع والضرب مجرد أمثلة عن المؤثرات الجبرية و العمليات الجبرية الثنائية، و تعريف هذه العمليات يقودنا إلى بنى جبرية مثل الزمر، والحلقات، والحقول.
الجبر الخطى، وهو مهتم بدراسة الجبر الابتدائى

مقال تفصيلي :جبر ابتدائي
الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأعداد. يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. ويعتمد الجبر الابتدائي على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائي أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسي للجبر الابتدائي.
وتعرف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه
و
ومنها
أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى
وكذلك
وهكذا.
بينما تعرف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا

وهكذا.
وتحقق كلتا العمليتان خواص الابدال والتجميع ويحقق الضرب وحده خاصية التوزيع على الجمع.
[عدل]متعددات الحدود
متعددة الحدود هو دالة رياضية أو تركيب جبري يتكون من واحد أو كثر من الثوابت و المتغيرات، يتم بناؤه باستخدام العمليات الأربعة الأساسية فقط: الجمع و الطرح و الضرب و القسمة.

وتحقق متعددات الحدود خاصيتي الاتصال بمعنى أنها تحقق قيمة لكل والقابلية للنفاضل أي توجد لها مشتقات من جميع الرتب عند جميع النقاط.
ويعد تحليل متعددات الحدود من أهم المجالات في التي يقدم فيها الجبر حلول كثيرة.
[عدل]الجبر الشامل

مقال تفصيلي :جبر شامل
من وجهة نظر الجبر الشامل ، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة مزودة بجموعة من العمليات على . نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على تمثل دالة رياضية تأخذ عنصر من المجموعة وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من .
لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل .
بالمقابل العملية الأحادية (حيث ) ببساطة عبارة عن دالة من إلى يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول . أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: .
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: أو f(x1,...,xn).
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية (حيث ) مثل ، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة.
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط، الفراغات الخطية، التحويلات الخطية ، ونظم المعادلات الخطية. تعتبر فراغات المتجهات موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الاستعمال في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. الجبر الخطي له أيضاً أهمية قصوى في الهندسة التحليلية كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعة والعلوم الاجتماعية.
الجبر الشامل، و فيه تتم دراسة الخواص العامة لكل البنى الجبرية.
جبر الأعداد، وهو يهتم بدراسة خواص الأعداد من الناحية النظرية.
الجبر الهندسي، ويهتم بدراسة تجريد قواعد الهندسة.
جبر التوافيق، ويهتم بدراسة التباديل والتوافيق.
جبر الحاسوب، وفيه تتم دراسة الخوارزميات الخاصة بالتعامل مع الكائنات الرياضية